| Artículos | 01 NOV 1996

Modelos gramáticos

Tags: Histórico
Eloy Anguiano.

En otros artículos de esta sección he descrito como crear con ordenador objetos con aspecto real. Sin embargo, estos objetos son siempre objetos geométricos, que si fueran reales serían artificiales. Sin embargo, la mayoría de los objetos reales, los naturales, son difíciles de representar geométricamente. Por ejemplo, una hoja puede ser modelada por polígonos y su tallo por un tubo. Pero describir un árbol situando explícitamente cada elemento del tronco, cada rama, cada ramita, cada hoja, cada nervio de la hoja, cada fruto, es o puede ser una pesadez inaguantable. Pero imagínese para un bosque. ¡Terrible!, ¿verdad?.

Ciertas técnicas de modelación avanzada intentar ir más allá de la simple descripción geométrica para permitir modelación simple de fenómenos complejos. Esto implica normalmente que una gran cantidad de objetos distintos y complejos pueden ser modelados de una forma muy simple y con un numero de parámetros pequeño y muchas veces intuitivo.

En este artículo voy a contar una técnica que puede servir para crear las estructuras de objetos naturales como los árboles o las hojas. Esta técnica sirve exclusivamente para crear las estructuras, es necesario añadir tratamientos de estos datos que nos lleven hasta la recreación de objetos naturales. A su vez, esta técnica sirve también para crear algunos de los objetos fractales más conocidos.

En el 1968 Lindenmayer y posteriormente Smith en 1984 presentaron un método para describir la estructura de ciertas plantas usando lenguajes gramaticales. Este tipo de lenguajes se pueden describir como una gramática consistente en una colección de productores aplicados simultáneamente.

Para ver como funciona voy a explicar el sistema propuesto por Smith aunque después presentaré uno más moderno. El alfabeto de esta gramática es {A, B, ..., [, ], (, ) }. Donde A, B, ... son las distintas denominaciones de los axones. [ es una ramificación a la derecha, ] es un retorno al ultimo punto de ramificación y ( y ) significan lo mismo pero a la izquierda. El ángulo de rotación a izquierda y derecha es otro de los parámetros del sistema y es siempre idéntico.

Por ejemplo, si partimos del axón B y las reglas de creación son

A => AA

B => A[B]AA(B)

Los primeros pasos son

0. B

1.A[B]AA(B)

2.AA[A[B]AA(B)]AAAA(A[B]AA(B))

3.AAAA[AA[A[B]AA(B)]AAAA(A[B]AA(B))AAAAAAAA(AA[A[B]AA(B)]AAAA(A[B]AA(B)))

con un ángulo de 60 grados en cada ramificación obtenemos la figura 1, en la que se muestra por añadidura el resultado de iteracionar 10 veces.

Esta es una sintáxis bastante simple, se puede extender un poco más si se cambia un poco el significado de los símbolos. Si utilizamos "[" como guardar la posición y "]" recuperar la última posición guardada; "+" como un giro a la derecha con un ángulo predeterminado inicialmente y "-" como un giro a la izquierda; "*" como un aumento en un 10% en la longitud de la siguiente rama y "/" como una disminución en el 10% de esa longitud; y por último una "," como una variación aleatoria en la longitud de la rama tendremos un modelo que, gramaticalmente sólo es un poco más complejo pero que produce muchos más resultados que el modelo expuesto al principio. Si a este modelo gramatical le añadimos un modelo geométrico convirtiendo cada rama en un cilindro con un cierto grosor y textura y añadimos al final de las ramas flores y hojas podremos obtener árboles bastante similares a los reales. En la figura 2 podemos ver algunos de los resultados aplicando estas reglas gramaticales. Como puede comprobar, su similitud con diversas clases de plantas es bastante grande.

Sin embargo, según se avanza en estos métodos gramaticales más difícil se hace su uso como descriptores del proceso de crecimiento de plantas aunque muy útiles para simularlas. Su capacidad descriptiva es muy importante para los biólogos que necesitan modelos que permitan una clasificación, sistematización y caracterización del crecimiento de las plantas.

En 1988 P. Reffye y colaboradores simularon el crecimiento de plantas con un reducido número de parámetros descritos en términos biológicos. En este modelo, la producción gramatical es más probabilista que determinista. En este modelo se parte inicialmente de una rama simple. Al final de esta rama hay un brote que puede sufrir una transición aleatoria entre varias posibilidades. Puede desaparecer, convertirse en una flor y morir, puede permanecer dormido durante un tiempo o puede convertirse en un internodo. Esta última posibilidad está compuesta por tres subprocesos: el brote inicial puede generar uno o más brotes auxiliares, se añade un internodo (un trozo de rama) y se añade un nuevo nodo apical al final de este último internodo.

Este modelo es capaz de describir la topología de distintas plantas pero es incapaz de describir su forma puesto que la dirección de las ramas y su longitud no entran en este modelo. El lector puede intentar realizar un modelo mixto en el cual las reglas gramaticales están controladas por estas reglas probabilísticas con lo cual podemos controlar tanto la forma como los componentes biológicos que intervienen en el crecimiento de las plantas, incluyendo anomalías en el crecimiento.

Los modelos gramaticales han tenido un gran éxito no sólo en la modelación del crecimiento de plantas sino que ha sido aplicado en otros campos como la arquitectura o la generación de fractales autosmilares. Es más, estos modelos gramaticales son aplicables casi siempre que el sistema a modelar exhibe suficiente regularidad.

He nombrado a los fractales autosimilares. ¿Cómo se pueden crear usando estas estructuras gramaticales? Veamos uno de los mas sencillos y conocidos, la curva de Koch. Utilizando como ángulo base 60º, con un axon A y la regla A => A-A++A-A. En los primeros pasos tendremos

0. A

1. A-A++A-A

2.A-A++A-A-A-A++A-A++A-A++A-A-A-A++A-A

3.A-A++A-A-A-A++A-A++A-A++A-A-A-A++A-A-A-A++A-A-A-A++A-A++A-A++A-A-A-A++A-A++A-A++A-A-A-A++A-A++A-A++A-A-A-A++A-A-A-A++A-A-A-A++A-A++A-A++A-A-A-A++A-A

que van construyendo el famoso fractal que puede verse en la figura 3.

En la figura 4 puede verse otra serie de fractales conocidos que han sido construidos para la figura con modelos gramaticales más o menos complejos.

Bibliografía

- A. Lyndenmayer, "Mathematical Models for Celular Interactions in Development, Parts I and II", J. Theor. Biol., 18, 1968, pp. 280-315.

- A.R. Smith, "Plants, Fractals and Formal Lenguages", SIGGRAPH 84, 1-10, 1984.

- P. de Reffye, C. Edelin, J. Françon, M. Jaeger y C. Puech, "plat Models Faithful Depth Maps", SIGGRAPH 87, pp. 313-322, 1987.

- G. Stiny y J. Gips, "Algorithm Aesthetics: Computer Models for Criticism and Design in de Arts, University of California Press, Berkeley, 1983.

Eloy.Anguiano@ii.uam.es

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