| Artículos | 01 ABR 1995

Fractales: concepto y futuro

Tags: Histórico
Ramón Montero.

Las posibilidades matemáticas de los fractales hacen posible obtener objetos gráficos de apariencia natural y procesos de compresión de gran eficacia imposibles de realizar con las técnicas anteriores.

De vez en cuando asistimos a la aparición de un nuevo concepto o vocablo que, por arte de magia, en poco tiempo se introduce en los escritos y conversaciones más actuales. En todo lo que tenga que ver con los avances tecnológicos, el hecho de asumir las novedades es una práctica imposible de renunciar para estar al día, y por desgracia, el campo de la informática es uno de los sectores que más se renueva constantemente, incorporando técnicas que se generalizan cuando resuelven adecuadamente una determinada dificultad. Pero existe un gran problema con esta cuestión, ya que no se puede asumir todo lo que sale como novedoso y hay que descubrir aquello que de verdad va a incorporarse a nuestro entorno particular, debiendo seleccionar solo aquello que se generaliza y se hace útil en el ámbito que nos interesa a cada uno, lo que suele implicar una espera hasta que se confirme su aceptación general.

El caso es que casi siempre que aparece un concepto (que suele venir acompañado por un término extraño o por unas siglas incomprensibles), el usuario se suele tropezar indefectiblemente con varios problemas, entre los que se encuentran la incorporación inmediata de nuevos vocablos y siglas al lenguaje, la asunción por todo el mundo de que las nuevas ideas son del dominio público, la generalización de la cuestión a una velocidad digna de aparecer en el Libro de los Records Guinness, la excesiva complicación de sus bases matemáticas, la falta de información adecuada donde recurrir, la incorporación del concepto a los objetos de moda, etc.

Tal es el caso de los fractales, ya que raro será el lector que no haya oído o leído algo que incorpore este tema, y si es el caso de que todavía no comprende su importancia en la informática actual, la lectura de este artículo resolverá sus dudas y le permitirá tachar otra de las muchas cuestiones que todos tenemos en la lista de asuntos pendientes.

Un poco de historia

Como suele ocurrir en muchos casos, el concepto de objeto fractal existe desde hace tiempo. Las curvas de Peano y de Koch son conocidas entre el público desde hace mucho tiempo, aunque no son los únicos objetos fractales que los matemáticos han estudiado desde el siglo XIX (en ocasiones desde el punto de vista de la topología), pero sólo cuando los ordenadores permitieron su manejo con facilidad, y sobre todo su visualización gráfica, es cuando se pudo dar el salto que ha permitido su estudio en profundidad. Se puede decir que muchos objetos que eran clasificados como patologías matemáticas pasaron a ser expresiones de la compleja realidad. No existe duda en asegurar que Benoît Mandelbrot fue la persona que primero comenzó a trabajar con los objetos fractales como entidades geométricas, definiendo sus características y dándoles aplicaciones prácticas. Mandelbrot fue el que introdujo en 1975 el término fractal en su libro Les objets fractals. Forme, hasard et dimension (Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión), que al contrario de lo que mucha gente cree (incluso alguna enciclopedia), no significa fraccionario, sino que proviene del adjetivo latino fractus, que significa interrumpido o irregular.

Aunque sus teorías no fueron asumidas inmediatamente (cosa muy corriente y normal), el nuevo modelo matemático ha ido introduciéndose en muchas ramas de la ciencia, tales como la geometría, la biología, la ecología, la física, la informática, la economía, la lingüística, e incluso la psicología, o sea, principalmente las áreas donde se estudia la geometría de la naturaleza y los sistemas caóticos.

En cuanto a las aplicaciones de las entidades naturales generadas por procesos fractales, en el resto del artículo se comentarán sus posibilidades. Por lo que respecta a los sistemas caóticos, este artículo no es el lugar más adecuado para tratar sus posibilidades, pero es de todos conocidos que hoy en día, los especialistas en los estudios del caos son muy cotizados entre las entidades financieras y empiezan a ser imprescindibles en el estudio de ciertas áreas de la sociología y de la psicología.

Aproximación a una definición

Lo lógico sería empezar con una definición exacta de los fractales, pero debido a su complejidad conceptual, voy a seguir el ejemplo del propio Mandelbrot, que opta por no definir los conjuntos fractales de una manera compacta y matemática, prefiriendo que se llegue a ellos de un modo intuitivo y laborioso.

Tratar sobre fractales sin recurrir a expresiones matemáticas es un objetivo que implica que los programadores y usuarios avanzados puedan quedar algo desilusionados después de leer el artículo. Espero que la posibilidad de que cualquier lector pueda seguir su lectura, sea suficiente para compensar la posible crítica proveniente de los que desearían más concreción.

Los objetos fabricados por el hombre, suelen ser fáciles de definir por medios geométricos clásicos, ya que los procesos de diseño y de fabricación exigen su descomposición en entidades básicas como cilindros, prismas, conos, esferas, etc. Sin embargo, la geometría de la naturaleza es caótica y no se puede representar por el orden perfecto de las figuras geométricas clásicas.

Es posible afirmar que entre el dominio del caos incontrolado y del orden excesivo de Euclides, se encuentra una zona de orden fractal. En realidad esa es la verdadera importancia de la geometría fractal: relacionar los objetos irregulares con expresiones matemáticas.

Las aplicaciones de los fractales son tan amplias que no podemos abarcar en este artículo más que las que tienen una relación directa con la informática, y aún así, vistas desde un punto de vista práctico y actual, sin profundizar en la teoría o en las posibilidades futuras.

Desde este punto de partida, vamos a utilizar dos de sus características más típicas y útiles en la informática para tratar de simplificar al máximo su comprensión, y así, es práctico definir los objetos fractales como las figuras autosimilares que no tienen una dimensión euclídea.

Ya veremos que los conceptos anteriores no sólo se corresponden con términos matemáticos, sino que tienen aplicación a los objetos naturales y a las aplicaciones informáticas, permitiéndonos trabajar con fenómenos que aparentemente parecen sin ley, tales como la forma de una costa, de una nube o de una obra de arte.

Figuras autosimilares

Decir que un objeto fractal es autosimilar o autosemejante indica que cualquier porción presenta la misma pauta de variación, sea cual sea la escala de observación. Es un proceso típico de homotecia interna o como también se conoce en inglés, scaling. Para entender este concepto no tenemos más que observar cómo se construye una curva típica de Koch, cuyos pasos podemos seguir en la figura 1 que se adjunta.

Paso 1: dibujamos tres segmentos formando un triángulo equilátero, o sea, con los tres lados iguales. Paso 2: dividimos cada segmento de la figura en tres partes iguales. Paso 3: dibujamos en la parte central de cada segmento otro triángulo equilátero cuyo lado sea igual a dicha parte. Paso 4: repetimos los pasos 2 y 3 indefinidamente.

Si realizamos el proceso con medios manuales, llegará un momento que no podamos seguir por falta de precisión visual y de los aparatos de dibujo, pero si utilizamos un ordenador para efectuar el trabajo, podemos continuar indefinidamente, ya que cualquier buen programa de gráficos vectoriales será capaz de realizar cuantos zooms precisemos para seguir repitiendo los pasos 2 y 3 de forma continuada, y si creamos un programa específico para generar dichos pasos automáticamente, el grado de detalle dependerá solo del nivel de resolución y del proceso d

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