| Artículos | 01 OCT 1996

El ordenador, instrumento topológico

Tags: Histórico
Eloy Anguiano.

La topología es la ciencia que se encarga del estudio de la forma de los objetos, independientemente de su tamaño o aspecto. Topológicamente, un balón de rugby, uno de baloncesto y uno de fútbol son idénticos. Esencialmente son casquetes esféricos, es decir, una esfera con un agujero en su interior. Todo esto sin tener en cuenta que existe un pequeño orificio para introducir el aire. Si tenemos en cuenta este agujero, sin necesidad de cortar ni de hacer agujeros se pueden deformar hasta llegar a ser una esfera sólida. Aún más, un cubo sólido y una esfera sólida son topológicamente idénticos (ambos pueden ser deformados si unir ni cortar ni agujerear nada hasta una forma idéntica). Como veremos en las líneas siguientes existen formas más complejas que, en muchos casos son "imposibles" en el mundo físico pero que sí existen matemáticamente. En estos casos la informática viene en ayuda del matemático permitiéndole ver esos objetos.

Para ver esta necesidad vamos a hacer unos pequeños trabajos manuales. Primero cojamos una tira de tela. Curvándola sobre si misma podemos crear un cilindro. Un cilindro es una superficie con dos bordes que puede ser cerrado uniendo a estas dos superficies, obtendremos entonces un cilindro. Otra posible solución es unir estos bordes entre sí, con lo que obtendríamos un anillo tórico (suponiendo una tela lo suficientemente deformable). El primero es topológicamente idéntico a una esfera y el segundo no (sin cortar ni eliminar agujeros no puede ser deformado hasta una esfera).

Todos estos objetos topológicos no tienen ningún problema para ser construidos sin embargo veamos que sucede en otro caso. Tomamos la misma banda de tela y rotamos uno de sus extremos 180º, una vez realizado esto volvemos a curvarla sobre si misma como en el caso anterior. Con esta operación construimos el objeto topológico denominado banda de Möbius. Esta superficie así construida es una superficie con un sólo borde y con una sola cara. ¡Sorpresa! Para comprobarlo sólo hay que poner el dedo (o un bolígrafo) en una parte de la superficie o del borde y recorrerla sin levantarlo. Podrá comprobar que la ha recorrido toda sin levantarlo. Al tener un borde únicamente, sólo es necesario utilizar otro trozo de tela para convertirla en una superficie cerrada. Como podrá comprobar es imposible materialmente. Pero esto depende únicamente de las reglas que nos impongamos. Si lo que utilizamos son superficies materiales entonces sí, es imposible. Si lo que utilizamos, por el contrario son superficies fantasmas, que pueden atravesarse a si mismas sin desgarrarse entonces lo que tenemos son cosas bien distintas. Por ejemplo, la botella de Klein es una superficie cerrada, con una sola cara que se corta a si misma. Esta intersección no puede eliminarse por deformaciones simples. El aspecto de la botella de Klein puede verse en la figura 1.

En 1901 Werner Boy presentó ante su profesor una superficie que se construía uniendo una superficie al borde de una cinta de Möbius. Esta superficie se cortaba a sí misma y se puede demostrar que no es posible que no lo haga. Su profesor, probablemente de forma ingenua supuso que no pasaría mucho tiempo hasta que algún matemático descubriese una descripción analítica de dicha superficie. He dicho lo de un poco ingenuamente porque esta superficie se ha resistido a tener una descripción analítica durante ochenta años.

Las ecuaciones paramétricas de esta superficie pueden verse en uno de los cuadros adjuntos. Como se puede comprobar son de gran dificultad, sin embargo, con un pequeño ordenador, cualquiera puede realizar un programa para visualizar la superficie de Boy. Una de las formas más sencillas de representar una superficie es utilizando sus meridianos. Como se indica en el cuadro, los meridianos de la superficie de Boy tienen una característica simple en estas ecuaciones y por tanto son fácilmente dibujables en la pantalla de un ordenador.

Una característica curiosa de la superficie de Boy es el número de polos que tiene la superficie. Los polos son los puntos en los que se cortan todos los meridianos de la superficie. Los meridianos de una esfera, como todos sabemos, se cortan en dos puntos. La superficie de Boy tiene una característica llamativa y es que tiene un sólo polo mientras que la botella de Klein no tiene polos. Intente imaginar una superficie cerrada sin polos o con un sólo polo.

Una de las posibles representaciones de la superficie de Boy es la que puede verse en la figura 2. Para llegar a comprenderla es necesario que observe los trozos de superficie que se ven en el interior. Esta superficie y otras que se presentan más adelante son imposibles (o casi) de representar sin la ayuda de un ordenador.

Ustedes se preguntarán cuál es la utilidad de crear superficies que no pueden existir en la realidad. En principio, estas superficies no pueden existir en un espacio de tres dimensiones, sin embargo, las últimas teorías físicas están trabajando en espacios con un número de dimensiones creciente. Incluso algunas de estas dimensiones tienen características especiales. Valga como ejemplo el tiempo en la teoría de la relatividad. La forma topológica del universo se hace entonces importante puesto que, de su forma pueden depender algunas conclusiones físicas. Así, los ordenadores ayudan a conocer las distintas variedades topológicas y por tanto ayuda a comprender la estructura del Universo.

Este es uno de los ejemplos más claros de como un ordenador es un instrumento que a los científicos les sirve como prolongación de su cerebro. Sin este instrumento esencial, ciertos conocimientos sólo podrían ser intuidos y por tanto difícilmente comprendidos. Pruebe usted a intentar imaginar el resto de las superficies a partir de las ecuaciones que las definen. Yo, personalmente me siento incapaz.

En este artículo se presentan además otras superficies curiosas. Una de ellas, la de la figura 3, es un nudo que es imposible deshacer. Otra de ellas es la superficie de Steiner descubierta en 1844 por Jacob Steiner y que puede verse en la figura 4. Las expresiones analíticas de estas superficies y de la botella de Klein pueden verse en la otra tabla. Si algún lector obtiene imágenes más sugerentes de estos objetos imaginarios estaría encantado de presentarlas en un artículo posterior.

Bibliografía

- J.P. Petit y J. Soiriau, C.R. Acad. Sci., 293, 269, 1981.

- J.R. Munkres, (1975) Topology: A First Course, Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

- Colin C. Adams, (1994) The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, W.H. Freeman.

(Eloy.Anguiano@ii.uam.es)

Contenidos recomendados...

Comentar
Para comentar, es necesario iniciar sesión
Se muestran 0 comentarios
X

Uso de cookies

Esta web utiliza cookies técnicas, de personalización y análisis, propias y de terceros, para facilitarle la navegación de forma anónima y analizar estadísticas del uso de la web. Consideramos que si continúa navegando, acepta su uso. Obtener más información