| Artículos | 01 ABR 1998

Curvas

Tags: Histórico
Eloy Anguiano.

Tras los " sesudos " artículos de los últimos meses, este mes voy a proponerles un pequeño divertimiento matemático . De vez en cuando es bueno relajar la mente sin dejar de usarla . En este divertimiento voy a presentar una forma curiosa de realizar curvas que pocos de ustedes habrán visto alguna vez y que al mismo tiempo produce resultados con un alto valor estético . Además de ser construidas de forma curiosa, la mayoría de ellas tienen la propiedad de tener una dimensión fractal . Esto quiere decir que su dimensión es superior a la de una línea simple . En estos días en los que el mundo se descubre lleno de fractales, la noción de dimensión fractal no sorprenderá a muchos y menos a mis asiduos lectores .

Antes de empezar a describir cómo se construyen estas curvas, veamos cómo describir con un número real una dirección en espacial . Si nosotros tomamos cualquier número entre 0 y 1 y lo multiplicamos por 360 tendremos cualquier dirección en el espacio . Si tomamos cualquier otro número real, su parte entera multiplicada por 360 será un número de vueltas entero al que se le añade un ángulo dado por la parte decimal . Es decir: la dirección viene determinada únicamente por la parte decimal del número . Veamos un ejemplo: 2 . 1 y 0 . 1 indican 756 y 36 respectivamente, pero 756-720 ( dos vueltas ) da como resultado 36; es decir, tanto 2 . 1 como 0 . 1 representan la misma dirección en el espacio .

Las curvas que vamos a recrear se construyen de forma poligonal infinita, es decir, uniendo rectas para formar polígonos con un número de lados infinitos . Los segmentos que forman los lados de este polígono tienen siempre un tamaño fijo y una dirección que viene determinada por un valor real . Cada uno de estos segmentos se sitúa a partir del extremo del segmento colocado anteriormente . El ángulo de cada uno de estos segmentos se calcula a partir de la parte decimal del elemento enésimo de una serie como hemos visto previamente . La posición de este elemento dentro de la serie coincide con la del segmento dentro del polígono . Es decir, si el elemento es el cuarto de la serie, el segmento será el cuarto del polígono .

Con el fin de que todo quede más claro veamos cómo es el programa que generaría estas curvas . Este programa, en forma de pseudocódigo queda como sigue:

x = ox

y = oy

Para n = 0, 1, 2 hasta valor final ( infinito )

X = x + cos ( 2pxn )

y1 = y + sin ( 2pxn )

recta de ( x,y ) a ( x1,y1 )

x = X

y = y1

fin bucle

Donde los xn son los valores de una sucesión calculada previamente y ox y oy son dos valores tomados arbitrariamente como origen de la curva . Con este sistema para construir los polígonos parece que haría falta que las series fuesen realmente complicadas pero, como podrá comprobar en breve, son muy sencillas . Como ejemplo veamos el caso de la figura 1 en la que aparecen una serie de volutas en espiral . En este caso se ha utilizado la serie en la que cada elemento xn viene dado por la expresión xn=0 . 0034n2 . Como puede ver, esta serie es realmente simple y da un comportamiento complejo y de alta belleza estética . Es más, variando el número que precede a n2 se obtiene una familia de curvas con características similares pero apariencias bien distintas .

Seguramente usted se estará diciendo que en todo momento he hablado de curvas poligonales y esta curva no tiene ni el más mínimo aspecto poligonal . Lo que sucede es que usted esta viendo los 4 . 000 primeros segmentos de este polígono infinito . Para poder ver la curva de forma completa los segmentos son tan pequeños que en la resolución en la que aquí se presentan no pueden ser distinguidos .

La cualidad de estar construidas por segmentos puede verse en las dos figuras siguientes . En la figura 2 que he dado en llamar ?la estrella? pueden verse los 600 primeros elementos dados por la sucesión xn=n7/1 . 050 . He elegido tan sólo 600 términos para dejar sin terminar la figura estrellada y que usted pueda ver cómo se construye esta gigantesca y compleja figura estrellada . Es muy importante que el número que divide a la séptima potencia de n sea 1 . 050 como veremos en breve .

En muchos casos este tipo de curvas es tan dependiente de las constantes utilizadas para generar la sucesión que la figura 3 viene dada por xn=n7/1000 . A esta figura he dado en llamarla la de ?La cucaracha borracha? porque tiene todo el aspecto de ser el camino que recorrería una cucaracha en un estado de embriaguez .

Como puede comprobar, el resultado es completamente distinto al de la figura 2 pero las sucesiones son, aparentemente, muy similares . Pruebe usted mismo con otros valores para el divisor para comprobar qué es lo que sucede si se realizan pequeños cambios en estas constantes .

En la figura 4 he presentado una sucesión bastante compleja para el tipo de sucesiones que se utilizan normalmente para generar estas curvas poligonales . La sucesión viene dada por la expresión:

Es más, para crear esta figura he utilizado los términos que van del 2000 al 2500 .

Si el lector quiere explorar este maravilloso mundo de las funciones poligonales le sugiero que pruebe a generar previamente las que aparecen en este artículo . Posteriormente puede probar a cambiar las constantes que aparecen en las fórmulas y por último que intente utilizar sucesiones controladas por fórmulas similares o aún más complejas como xn= ( log n ) 4 .

Este tipo de curvas tiene bastante relación con la teoría de números pero no voy a realizar la descripción de esta relación en este breve artículo . Sin embargo, me parece que es importante saber que estas curvas, además de una curiosidad matemática con una fuerte característica estética y no solamente una mera curiosidad . Estas curvas y sus propiedades tienen su utilidad desde un punto de vista puramente matemático y como todo en matemáticas puede que algún día afecte a nuestra vida cotidiana aunque no nos demos cuenta de que lo hace .

Es importante recalcar que el estudio de estas curvas sería harto complicado si no dispusiésemos de sistemas informáticos que nos permitiesen calcular y visualizar rápidamente estos procesos complejos . El número de cálculos necesarios para calcular cualquiera de estas curvas es muy grande y no existen métodos analíticos simples que nos permitan determinar a priori la forma y comportamiento de dichas curvas . La informática viene, como en todos estos casos, a echarnos un cable para solucionar nuestros graves problemas de cálculo y representación .

Los lectores, si lo desean, pueden enviarme por correo electrónico los resultados obtenidos si le parecen curiosos o sugerentes y en un próximo número presentaré dichos resultados si me parecen lo suficientemente estéticos o ingeniosos .

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