| Artículos | 01 ABR 1995

Cálculo del número Pi

Tags: Histórico
Eloy Anguiano.

Hace tiempo que estaba deseando escribir algo sobre ese número casi mágico que es . En este corto espacio pretendo darle al lector una visión de conjunto del problema que supone el cálculo de este número. Por supuesto, todos aquellos que deseen conocer algo más en detalle este problema es aconsejable que partan de la bibliografía adjunta.

Este número representa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Curiosamente, una relación tan natural geométricamente tiene como resultado un número irracional, es decir, que no es expresable mediante una fracción de números enteros. Por otro lado, es también un número transcendente, es decir, que no puede ser la solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes enteros.

En la práctica, la irracionalidad de Pi significa que, forzosamente, deberemos contentarnos con obtener aproximaciones numéricas con mayor o menor precisión.

Todos ustedes recordaran que el valor de es 3.14, algunos que es 3.1416, casi ninguno recordará un valor como el de 3.1415926 y podría decir que ninguno un valor como el de:

3.141592653589793238462643

Gracias a G. Leibniz, coinventor del cálculo diferencial junto con Newton, sabemos que la sucesión de números

x0=4, x1= 4(1-1/3);

x2=4(1-1/3+1/5);

x3=4(1-1/3+1/5-1/7) etc.,

se acerca por exceso y por defecto al valor conocido de

Sin embargo, esta sucesión se aproxima muy lentamente al valor exacto, con quinientos términos, el valor obtenido es 3.14358... no muy bueno, como se puede comprobar. Actualmente podemos realizar este cálculo con un ordenador con muchísimos más términos y por tanto, aproximarnos razonablemente.

Este algoritmo es muy bueno teóricamente pero resulta inutilizable en la práctica si se quiere encontrar una gran cantidad de cifras de este número. ¿Qué hacer entonces?, la respuesta es muy sencilla, hay que encontrar una sucesión que converja mucho más rápidamente hacia el valor de Muchos grandes matemáticos han desarrollado series de convergencia rápida. Tal vez, una de las mejores se debe al matemático indio Ramanujan (1887-1920) en la que el primer término de la sucesión da un valor muy exacto 3.141592. Esta sucesión viene determinada por la ecuación.

En la actualidad hay muchos matemáticos buscando algoritmos de convergencia rápida que sólo es posible aplicar en grandes superordenadores. El récord actual está en manos de David y Gregory Chudnovsky que en 1990 consiguieron más de dos millones de decimales de Pi.

Existen métodos generales para la aceleración de la convergencia de estas sucesiones.

En el cuadro adjunto puede verse un programa en lenguaje C que calcula 2.400 decimales de este número. Muchos más de los que nunca ha conseguido ninguna persona a mano. En 1873, William Shanks calculó 703 cifras y sólo las 527 primeras eran exactas. Por otro lado, si con un programa tan sencillo en un ordenador personal somos capaces de esto, es evidente la importancia de los ordenadores en este tipo de cálculos.

Este programa fue encontrado en una mensajería electrónica siendo de autor desconocido. Por mi parte, no he conseguido encontrar en que principio se basa. Un buen ejercicio de programación es intentar analizar este programa, sin embargo, tras entenderlo podrán descubrir la fútil tarea que han realizado. Sin embargo, si alguien es capaz de descubrirlo me gustaría que me escribiese y me lo contase. Yo, por mi parte, expondría su resultado en un próximo artículo con el nombre de su autor.

No obstante, existen técnicas para acelerar la convergencia de sucesiones. Estas técnicas son casi mágicas; con mucha frecuencia bastan unos pocos pasos para obtener bastantes cifras decimales a partir de una sucesión que, originalmente, necesitaba varios miles de pasos para obtener un valor similar. Estos métodos proporcionan vías para reducir el coste temporal de estos cálculos.

Uno de estos procedimientos es el denominado método delta-2 de Aitken, inventado en 1926 por el matemático Alexander Aitken, que consiste en obtener una nueva sucesión, tn, a partir de la antigua, xn, a través de la transformación.

Aplicando esta transformación a la sucesión de Leibniz se obtiene otra en la que con 50 términos se obtiene un valor de

3.14159265559...

Si se compara este resultado con el obtenido con 1.000 términos en la sucesión de Leibniz, el ahorro de tiempo de computación es algo más que evidente.

Existen muchos otros métodos de aceleración entre los que cabe destacar el método de Aitken generalizado que consiste en aplicarlo de forma iterada un cierto número de veces. Sin embargo, si el número de iteraciones de este método es muy alto, se pueden obtener unos términos muy complejos que pueden suponer también mucho coste computacional.

Muchos se preguntaran el porqué de este cálculo tan exacto. Un ejemplo típico es que para el cálculo de las órbitas de satélites es necesario el uso de este número.

Un pequeño error de cálculo puede hacer que este satélite caiga a la tierra o huya hacia el espacio en poco tiempo. Junto a éste y otros muchos problemas prácticos existe otro que es la curiosidad.

Este número siempre tendrá un halo mágico que atraerá a los pensadores más inquietos.

Bibliografía

J.M. Borwein y P.B. Borwein, Ramanujan, MÒodular equation and aproximation to Pi, or how to compute one billion digits of Pi, en American Mathematical Monthly, vol. 95, num. 3, pp. 201-220, 1990.

J.P. Delahaye, Sequence transformations, Springer-Verlag, Berlin, 1988.

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